最优化问题必须同时写出目标和可行范围
无约束最优化允许变量在定义域内自由改变，预算约束则要求一次调整同时照顾资源限制。把 x 增加一点、保持 y 不变，可能立刻超出预算；因此仅把目标函数的两个偏导都设为零，并不一定是在寻找题目允许的最优点。约束不是最后才补上的说明，而是问题的一部分。
本文使用一个可手算的教学模型：两种可连续分割的投入 x、y 均非负，目标指标 f(x,y)=xy，每单位资源成本分别为 3、2，总预算为 120。该乘积只是用来学习互补投入与约束方法的假设指标，不代表真实企业的利润函数，也没有断言现实产出一定按乘积增长。
为什么可以先研究预算恰好用完的情况
原来的可行条件是 3x+2y≤120。只要 x、y 都为正而预算还有剩余，增加其中一个投入就会提高 xy；同时存在 x=20、y=30 这样的可行点，目标值为正，所以最优解不会是产出为零的坐标轴点。因此本例最大值必定出现在 3x+2y=120 上。
这一步依赖具体的单调性与可行条件，不能把所有不等式约束都直接改为等式。如果目标函数含有拥挤成本、投入厌恶或额外上限，预算可能不应花完。处理一般不等式约束时需要检查哪些约束实际生效，课程可能会进一步引入卡鲁什－库恩－塔克条件。
建立拉格朗日函数，逐个求偏导
选用 L(x,y,λ)=xy+λ(120−3x−2y)。分别对 x、y、λ 求偏导并设为零，得到 y−3λ=0，x−2λ=0，120−3x−2y=0。第三条方程正是预算约束，因此 λ 不是一个可以忽略的新变量，而是把目标和约束联系起来的乘数。
由前两条得到 y=3λ、x=2λ，代回预算式有 3×2λ+2×3λ=120，即 12λ=120。于是 λ=10，x=20，y=30，目标值为 600。计算后应立即检查 3×20+2×30=120，且两个变量都非负；不满足约束的驻点不能成为候选答案。
边际收益与资源成本怎样对齐
在候选点，增加一点 x 的边际目标变化为 f_x=y=30，增加一点 y 的边际变化为 f_y=x=20。除以各自资源成本后，30/3=20/2=10。这个相等关系表示：在当前最优附近，把一小份预算从一项转到另一项，不能产生一阶的净改进。
例如在保持预算不变时，若 x 增加 ε，y 必须减少 1.5ε。候选点附近的目标变成 (20+ε)(30−1.5ε)=600−1.5ε²。一阶变化恰好抵消，但二阶项使目标下降。这既解释了乘数条件，也提醒我们，一阶为零本身并没有自动告诉我们是最大、最小还是其他驻点。
几何上，约束线的法向量为 (3,2)，目标等高线在候选点的法向量为 (30,20)，两者成比例。因而沿可行线方向的小幅移动不会让目标在一阶上增加。不要把这个切线解释误读成“两种投入数量应该一样”：本例数量二十与三十不同，相等的是各自使用的预算六十，以及每单位预算的边际目标收益。
用代入法证明，而不是只比较几个随意点
由预算约束得到 y=60−1.5x，且 0≤x≤40。目标化为单变量函数 h(x)=60x−1.5x²。其一阶导数为 60−3x，在 x=20 为零，二阶导数恒为 −3。因此这条可行线段上的目标严格凹，在内部候选点取得唯一最大值。
端点也需明确检查：x=0 时 y=60，x=40 时 y=0，两端的目标均为零，小于 600。更直接地，h(x)=600−1.5(x−20)²，说明整个可行区间都不可能超过 600。只试几个邻近点会提供直觉，但不能替代这种覆盖全部可行点的证明。
乘数是局部边际值，符号和单位都有条件
把预算记为 B，重复推导得到最优投入 x=B/6、y=B/4，最优目标 V(B)=B²/24。故 V′(B)=B/12，在 B=120 时为 10，与当前写法中的 λ 相同。预算增加一单位时，目标近似增加 10；精确增量为 V(121)−V(120)=10+1/24，约 10.0417。
这是一阶近似而非适用于任意大变化的固定兑换率。如果把拉格朗日函数写成 xy+λ(3x+2y−120)，求出的乘数符号会相反，所以解释前要写明约定。乘数单位为“目标指标单位/预算单位”，并非百分比；约束整体乘上常数也会改变乘数数值，却不会改变最优投入。
还应留意目标指标本身的刻度。如果把目标统一改成两倍的 xy，最优投入位置完全不变，最优值与乘数却都会翻倍。因此乘数数值不能脱离目标定义比较，更不能不经校准就把抽象效用的乘数解释为货币利润。对模型做单位变换后重新检查乘数，是理解影子价格的实用练习。
自测：预算改为九十，结论如何变化
保持目标和单价不变，把预算改为 90。请独立写出三条方程，计算最优投入、目标值和乘数，并判断能否直接用原来的乘数精确预测变化。解析：λ=90/12=7.5，x=15，y=22.5，目标值为 337.5；约束核验为 45+45=90。
从 120 降到 90 是幅度较大的变动。若机械使用原 λ=10，会预测目标减少 300，得到 300；实际最优值是 337.5，因为预算缩减过程中边际值也在下降。再检查端点目标为零、代入后的二阶导数仍为 −3，才能把求出的候选点确定为全局最大值。
什么时候应暂停套公式
常规拉格朗日必要条件要求相关函数可微，并满足约束梯度非零等正则条件。本例约束梯度为 (3,2)，不会为零。若目标不光滑、约束存在尖点、可行域不封闭或变量必须取整数，直接求解三条偏导方程可能漏解，甚至根本没有最优值；应回到题目条件选择方法。
整理答案时按“变量与单位、目标与约束、是否用满资源、一阶候选点、可行性、全局或局部证明、乘数解释”排列。若模型只是课堂假设，就明确结论在该假设下成立。能说明为什么预算生效、为什么候选点真的是最大值，比只把 x、y、λ 三个数字算出来更能展示理解。
有时求解过程中需要除以某个变量或乘数，除之前要先考虑该量为零的情况。否则可能把本应检查的边界候选点删掉。本文采用先代入线性关系、再单独检查两个端点的路线，避免了这一风险；对于更复杂的函数，也应保留每一步代数操作的适用条件。
参考资料
下一步
如想练习约束最优化，请说明数学或经济学模块、已学的偏导方法以及卡住的一阶条件。相关辅导能否安排，取决于学科匹配和导师时间。