卡方独立性检验：怎样从二乘二表算出期望频数？

先确认这张表装的是什么

卡方独立性检验用于考察两个分类变量是否存在总体关联。二乘二表的每个格子放人数或事件次数，不是均值、评分或已经算好的百分比。每个观测单位应在行变量和列变量上各属于一个互斥类别，因此一个人不能因多次操作被不加说明地重复计为多个独立样本。

这里的原假设是两个变量在目标总体中独立，备择假设是并不独立。独立意味着知道行类别后，列类别的概率分布不会改变。它不是要求四个格子的数量一样，也不是预先假定两组必须具有相同样本量。

构造一份 200 名独立参与者的练习记录，每人只使用一个检索界面并完成一次相同书目任务。界面 A 的 100 人中，70 人找到、30 人未找到；界面 B 的 100 人中，50 人找到、50 人未找到。所有数字均为教学设定，不是真实产品评测结果。

先完成边际合计：两行各 100 人；找到一列共 120 人，未找到一列共 80 人，总数为 200。A 的找到比例为 70%，B 为 50%。这两项样本比例描述了差异，但是否适合进行总体推断，还要检查参与者如何进入样本。

若界面和找到与否独立，用全样本的找到比例 120/200=0.6 来分配每一行。A 行的期望找到人数为 100×0.6=60，期望未找到为 100×0.4=40；B 行同样为 60 与 40。这些 E 值是原假设下的基准，不是把观察到的 70、30、50、50 改写成新数据。

通用计算是 E=所在行合计×所在列合计/总数。NIST 与芝加哥大学的教学材料均说明了这一构造。期望频数可以有小数，不应为了凑成人数而逐格取整。核验时，两行期望数应各自加为 100，两列仍分别加为 120 与 80。

Pearson 卡方统计量是把每格的 (O−E)²/E 相加。按 A 找到、A 未找到、B 找到、B 未找到的顺序，贡献分别为 100/60、100/40、100/60、100/40，即约 1.667、2.500、1.667、2.500；合计约 8.333。正负偏离先平方，因而不会互相抵消。

自由度为 (行数−1)×(列数−1)=1。直观上，固定边际合计后，只需指定一个格子，另三个就随之确定。按自由度 1 的卡方近似分布，右尾概率约为 0.00389；这里报告的是未经连续性校正的 Pearson 检验，不能与其他算法的输出混为一谈。

卡方分布是近似，不是任何大小的表都能照用。二乘二表的入门分析可采用四格期望频数均至少为 5 的保守检查；不同课程或方法有更具体的条件。本例最小 E 为 40。检查的是期望频数，单看总样本量超过某个数字，或观察频数都不是零，不能替代这一步。

若同一批人先后使用 A、B，数据具有配对结构，应考虑适合配对二分类资料的方法；若参与者来自同一小组或复杂抽样设计，也要处理相应依赖和权重。小期望格可考虑适用的精确检验，不能仅为通过门槛而随意合并有不同含义的类别。

在独立抽样等前提成立、显著性水平事先定为 0.05 时，本例结果提供反对独立假设的证据。解释时还应给出 A、B 的找到比例相差 20 个百分点，而不是只报一个很小的概率。70% 相比 50% 的相对增加为 40%，这与增加 20 个百分点不是同一单位。

卡方值本身没有关联方向，因为各格偏离都被平方。方向要回到原始比例判断。若两种界面由不同经验的人自行选择，关联可能与经验等因素有关；仅凭列联表不能断言更换界面就会使每个人的成功率提高。便利样本的结果也不能自动代表全部用户。

把四格观察频数改为 7、3、5、5。请计算边际合计、四格期望数和卡方统计量，并判断能否照搬前面的显著性结论。解析：总数为 20，两行各 10，两列为 12、8；期望数是 6、4、6、4；统计量为 1/6+1/4+1/6+1/4，约 0.833。

两组找到比例仍为 70% 与 50%，但统计量不再是 8.333，且两个期望格低于 5。此时应重新选择并说明小样本推断方法，不能沿用大表的近似结果。若答案为 8.333，通常是把比例差当成了完整统计量；若把 E 写成 5、5、5、5，则忽略了列合计。

先写清观察单位、两个分类变量及目标总体，再列 O、边际合计、E、逐格贡献和自由度。最后记录采用的检验版本、抽样与独立性条件、两组比例及解释范围。这个顺序能让别人定位计算错误，也能让你发现问题其实出在研究设计而非算术。

如果只是依据课程示例手算，应明确这是给定条件下的练习。真实分析若缺少抽样方式、重复测量标识或缺失值处理说明，应先补齐这些信息，再把软件输出写进结论。表格整齐和概率很小，都不能弥补观察单位定义不清。

如想练习列联表与检验选择，请说明统计学模块、需要解释的变量类型及已完成的计算。相关辅导能否安排，取决于学科匹配和导师时间。