先把任务改写成一个精确问题
二分查找容易写出能通过几个例子的程序，却在重复值或空数组上失效。原因通常不是没有记住“每次减半”，而是没有定义返回值。本文要找的是：在非降序数组中，第一个大于或等于目标值的位置。如果所有元素都小于目标，返回数组长度。这个位置也就是一种左侧插入点。
设练习数组为 [3, 7, 7, 12, 18, 24]，目标为 7。正确答案是下标 1，而不是任意一个值为 7 的位置。下标从零开始。先确定重复元素的处理规则，后续的分支和测试才有同一个判断标准。所有数组和操作均为原创教学设定。
区间外已经确定，区间内继续判断
令 n 为长度，初始 lo=0、hi=n，待检查的元素区间写作 [lo, hi)，即包含 lo、不包含 hi。保持两个陈述：所有下标小于 lo 的元素都小于目标；所有下标大于或等于 hi 且小于 n 的元素都大于或等于目标。空的左右区域自然满足这些陈述。
这两个陈述就是本题的循环不变式。它们不是说答案一定是某个尚未检查的元素，因为答案也可能为 n；更准确地说，分界位置始终处于闭区间 [lo, hi]。区分“待检查的元素”和“可能的分界位置”，能解释为什么 hi 可以等于长度而不会被直接读取。
两条更新规则分别保留什么事实
当 lo<hi 时，取 mid=lo+(hi−lo)//2。若 a[mid]<目标，由于数组有序，从 lo 到 mid 的值都小于目标，因此令 lo=mid+1。mid 已经被排除，不能继续保留它。若 a[mid]≥目标，则 mid 及右侧都可归入已确定的右区，令 hi=mid。
不必单独设置“相等时立即返回”的分支，因为这样可能返回重复值中间的位置。这里把相等归入收紧右界的情况，继续寻找更靠左的分界。两条更新都维持不变式，而且让非负整数 hi−lo 严格减少，这同时给出不会无限循环的理由。
完整追踪：为什么最后停在下标一
第一次 lo=0、hi=6，mid=3，a[3]=12，大于或等于 7，于是 hi=3。第二次 lo=0、hi=3，mid=1，a[1]=7，仍令 hi=1。第三次 lo=0、hi=1，mid=0，a[0]=3，小于 7，于是 lo=1。现在 lo=hi=1，循环结束。
终止时，不变式说明下标 1 左边都小于 7，下标 1 起都大于或等于 7。因此返回 1 有证明支撑。把每轮写成“旧边界、mid、比较结果、新边界”四列，比只看最后输出更容易找出错误；若某轮新旧边界完全一样，就应先检查更新式。
插入点不等于已经找到目标
如果目标改为 10，分界位置是 3，因为 a[3]=12 是第一个大于或等于 10 的值，但数组没有 10。要实现精确查找，应先取得位置 i，再检查 i<n 且 a[i]==目标。必须先检查 i<n，否则目标大于所有元素时会访问越界。
Python 官方 bisect_left 文档给出的就是左侧插入位置语义。本练习中的整数条件与其一致；调用库函数时仍要知道契约，而不能把返回的非负整数直接当作成功标记。若要统计目标出现几次，可分别取得右插入点和左插入点，用两者之差计算。
自测一：边界变化需要自己写完
对同一个数组分别查找 2、7、25，先预测插入点，再逐轮追踪。答案依次为 0、1、6。对于 25，边界依次由 (0,6) 变为 (4,6)、(6,6)；返回 6 是有效的插入位置，但不是有效的元素下标。空数组的初始状态是 (0,0)，无需比较即返回 0。
再考虑仅有一个元素的 [7]。目标为 7 时，mid=0，更新 hi=0 后结束；目标为 8 时，更新 lo=1 后结束。如果把“小于”的分支误写为 lo=mid，查找 8 就会永远停在 (0,1)。这比在大数组里随机运行更直接地暴露了不终止的问题。
自测二：为什么不能随意换一个符号
有人把比较条件改成 a[mid]≤目标，其他更新保持不变。它对目标 7 返回什么？答案为 3，因为现在左侧被确定为“小于或等于目标”，右侧为“严格大于目标”，得到的是右侧插入点。这个版本本身可以正确，但它解决了不同的问题。
再有人把 hi=mid 改为 hi=mid−1，却仍使用 [lo,hi) 的说明。这会提前排除尚可能是答案的边界。例如 [3,7] 查找 7，第一次 mid=1 后 hi=0，最终返回 0，明显错误。闭区间算法也能成立，但初始化、循环条件、更新和返回逻辑必须成套推导。
适用前提与复习方法
本方法要求数组按同一种比较规则有序，且查找过程中不被修改。比较不具备一致顺序、数据含特殊的不可比较值，或者排序键与查找键不一致时，前述证明不能直接使用。对普通随机访问数组，比较次数随长度对数增长；若每次访问中间元素本身很昂贵，总成本要另外计算。
用二分找到插入点，并不意味着向数组插入元素也是对数成本；移动后续元素通常仍需线性时间。复习时先口头解释不变式，再手算一组重复值、一组缺失目标和一个空数组，最后才写代码。能解释为何保留 mid 或排除 mid，比背诵两行更新更能迁移到新题。
可以再用一个反例检验“有序”不是可省略的装饰条件。数组换成 [3,12,7,18]，目标仍为 10，第一次中点读到 7，算法把左界移到下标 3，随后返回 3，却漏掉了下标 1 的 12。更新操作并没有写错，错的是输入不满足证明前提。调试时应分别检查输入契约与算法实现，不要只修改边界直到这个例子碰巧通过；若每次查找前都重新排序，还要把排序成本和原始下标变化计入设计。
参考资料
下一步
如想练习算法证明与边界调试，请说明计算机模块、使用语言及自己已经写出的查找过程。相关辅导能否安排，取决于学科匹配和导师时间。