先定义规模与成本模型
复杂度分析回答的是输入增长时，工作量怎样变化。首先说明 n 代表什么：数组元素个数、图的顶点数，还是整数的位数。若任务同时接收两张长度分别为 n 与 m 的列表，不应未经解释就把它们都叫作 n。接着选一个可以数清楚的基本操作，例如比较两个元素一次。
本文以循环中执行一次标记操作为一次成本，假设索引和小整数运算的成本固定，循环不中途退出。这个约定让我们先比较算法结构，暂不把打印、文件读取、网络请求混进计数。运行时间还受机器、解释器及数据内容影响，因此一次计时不能直接等同于复杂度结论。
把线性计数与渐近符号分开
设一个程序扫描 n 个元素，每个元素做三次标记，最后额外做两次，操作总数为 3*n+2。n 为 4、8、16 时，次数分别是 14、26、50。系数与固定开销影响实际工作量；渐近分析关注规模足够大后的增长类型，所以这个计数属于线性增长。
Big O 描述渐近上界，不是精确次数，也不自动表示最坏情况。严格地说，上述计数既是 O(n)，也是较松的 O(n²)；当要表达紧确增长级别时，可使用 Θ(n)。最好先写“这里分析无提前退出的完整扫描”，再给出紧的界，而不是把“O”误读成固定耗时。
独立的两层循环：相乘有明确前提
现在让外层 i 取 range(n)，每一轮内层 j 都取完整的 range(n)。每个 i 对应 n 个 j，共执行 n*n 次标记。可在 Python 3 输入 n = 5，再另行输入 print(sum(1 for i in range(n) for j in range(n)))，结果应为 25。此处生成式只是简洁的计数工具。
如果内层改为 range(m)，总数是 n*m，不能在不知道 m 与 n 的关系时写成 n²。若内层始终只执行固定的五次，总数则是 5*n，即线性增长。因此“有两个循环，所以平方复杂度”不是可靠推理；真正需要检查的是每轮内层到底做多少工作。
依赖外层变量时，先列出一串次数
把内层改成 range(i)，而外层仍为 range(n)。当 n=5，内层次数依次是 0、1、2、3、4，总共 10 次。可用 print(sum(1 for i in range(5) for j in range(i))) 核验。一般情况下，总数是 n*(n-1)/2，仍是平方级，但并不是 n² 次。
如果分析的是无序元素对，这个三角形范围恰好避免比较自己，也避免把同一对反向再比较一次。n=1 时应为零，能检验是否误写了 range(i+1)。先列出小例子的每行长度，再把它们相加，通常比凭代码外观猜复杂度更稳妥；省掉一半工作并没有改变平方增长级别。
不是每个依赖循环都保持平方增长
再看一个不同结构：令 k 从 1 开始，每轮执行 k 次标记，随后把 k 乘 2，只要 k 小于 n 就继续。n=16 时，各轮工作量是 1、2、4、8，总和为 15。外层只有四轮，但内层长度不同，不能把“最大内层长度”直接当成每轮长度。
对于二的幂 n，这个总和为 n-1；对一般正整数 n，总和也小于 2*n，因此整体是线性级。与之对照，如果外层同样按倍增方式推进，但每轮内层始终做 n 次，才得到 n 乘对数级的工作量。关键不是机械地相乘两个最大次数，而是计算真实的总和。
输入翻倍可以检验预测，不能代替推导
对三角形计数，n=4、8、16 时分别得到 6、28、120；相邻比值约为 4.67 和 4.29，随着规模增长趋近 4。有限规模的比值不必恰好等于 4，因为表达式还带有较低阶项。对于 n²，翻倍正好变为四倍；对于 n，翻倍是两倍。
对数增长则不同：规模从二的 k 次幂增至二的 k+1 次幂，工作量通常只多一个同类步骤，不能说“输入翻倍，耗时也翻倍”。若实际测量，应保持输入类别、运行环境和计时范围一致，重复测试并报告波动。小数据的启动成本与噪声可能掩盖增长趋势；复杂度也不保证在任何小规模上都更快。
自练与可复用的分析记录
练习一：外层 range(n)，内层 range(3)，之后另做一次长度为 n 的扫描。总数是 3*n+n=4*n，属于线性级。练习二：外层 range(n)，内层 range(i+1)。总数是 n*(n+1)/2；n 为 4、8 时分别为 10、36，属于平方级。先写预测，再用计数器或生成式验证。
练习三：搜索列表，找到目标便立即返回。目标位于首项与完全不存在时，比较次数不同；应分别说明最好和最坏输入，不能从首项命中的样本推出所有情况都只需一次。最后保留一份分析记录：规模定义、成本单位、输入情形、次数表达式、渐近结论和两个小规模检查。这个过程比背诵循环层数更容易迁移到新的题目。
参考资料
下一步
讨论复杂度时，带上你选定的基本操作、计数过程及测试规模，比只提供一个 Big O 答案更便于定位问题。